Question

大学高数第五题谢谢

Answer 1

0/0，∞/∞，0.∞是使用洛必达法则的必要条件，不是充要条件，还要求导之后的式子的极限存在。

A：
0/0，用洛必达法则试一试：
-->[2xsin(1/x)+x²cos(1/x).(-1/x²）]/cosx
=[2xsin(1/x)-cos(1/x)]/cosx
sin(1/x)有界，[2xsin(1/x)->0,cosx->1,原式->-cos(1/x)，不确定。
不能求。
用夹逼法可以求：
-1≤sin（1/x）≤1
-x²≤x²sin（1/x）≤x²
x->0+,sinx>0,-x²/sinx≤x²sin（1/x）/sinx≤x²/sinx,x/sinx->1,因此，前后极限都是0，中间极限也是0；
x->0-,sinx<0,x²/sinx≤x²sin（1/x）/sinx≤-x²/sinx,x/sinx->1,因此，前后极限都是0，中间极限也是0；
因此，极限为0.

B:∞/∞型：用洛必达法则试一试：
-->(1-sinx)/(1+cosx)=[sin²（x/2）-2sin（x/2）cos（x/2）+cos²（x/2）]/2cos²（x/2）
=[sin（x/2）-cos（x/2）]²/2cos²（x/2）
=[tan（x/2）-1]²/2，x->+∞，不确定，不能求。
可以使用等效代换，sinx、cosx都有界
[x+sinx]/x=1+sinx/x->1;[x+cosx]/x=1+cosx/x->1
原式->x/x=1
C:
0/0型，用洛必达法则试一试：
-->[1/(1+x²)]/[-1/(x²+1）]=-1,可以！！

D：∞/∞型：用洛必达法则试一试：
[e^x+e^-x]/[e^x-e^-x],还是∞/∞，再用洛必达法则：
[e^x-e^-x]/[e^x+e^-x]，还原了，无限循环不能确定。
分子分母同时除以e^x
[1-e^-2x]/[1+e^-2x]-->1/1=1

Answer 2

选 D 。
其余求导后极限均不存在。
D 中，求导后得倒数，因此原极限 = 1 。

Answer 3

不清晰

追问

Answer 4

C