Question

已知椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,过右焦点F的直线l与C相交于A.B两点,当斜率为1时,坐标

（2）C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）离心率为√3/3，右焦点F的坐标(√3a/3,0)，过右焦点F的直线l为：y=kx-√3ak/3，b²=2a²/3，当k=1时，y=x-√3a/3，x²/a²+3y²/2a²=1，5x²-2√3ax-a²=0，x=(√3±2√2)/5，y=(-2√3±6√2)/15，A.B两点坐标[(√3+2√2)a/5,(-2√3+6√2)a/15]、[(√3-2√2)a/5,(-2√3-6√2)a/15].
（2）x²/a²+3y²/2a²=1，y=kx-√3ak/3，(2+3k²)x²-2√3ak²x+a²k²-2a²=0，解得：(x1-x2)²=(16a²k²+16a²)/(2+3k²)²，(2+3k²)y²+4√3aky/3-4a²k²/3=0，解得：(y1-y2)²=16a²k²(1+k²)/(2+3k²)²，AB=√[(16a²k²+16a²)/(2+3k²)²+16a²k²(1+k²)/(2+3k²)²]=[1+(k²+2)]a/(3k²+2)＞a，∵在△AOB中，OA+OB＞AB，∴OA+OB＞a，∵OP≤a，∴OP=OA+OB不成立。