Question

第二型曲线积分与与路径无关的条件是什么？

Answer 1

P对Y的偏导=Q对X的偏导

Answer 2

一是求原函数：arctan(y/(2x))是原函数。注意到原函数在x=0的地方不可微，因此 积分时的上下限就要以之为分界点。比如本题，在y轴上去点 E(0,-1)，F(0,1)。则 先计算从A到E的积分值是lim arctan(y/(2x))-arctan(0/(2*-1)) =pi/2。注意，此式取极限时要求y趋于-1，x从小于0的地方趋于0， 因此y/(2x)是趋于正无穷，极限是pi/2。 再计算从E到F的积分，取极限是也要注意正负号， 在E点时y趋于-1，x从大于0的方向趋于0，因此极限是-pi/2， F点y趋于1，x从大于0的方向趋于0，极限是pi/2，两者相减是pi。 再从F到D类似计算可得结果。 另外做法与之类似。 先计算绕一圈AEBFA（L）的积分。这个可以用挖洞的Green公式。 以原点为心做一个小椭圆S：4x^2+y^2=e^2，e充分小，方向为逆时针。 则L的积分-S的积分=0（这是Green公式）， 因此L的积分=S的积分 =S上(xdy-ydx)/(e^2) 再用Green公式 =2S包围的面积/e^2 =pi。（好像是这个结果，你再仔细计算吧） 于是ABD的积分+DA的积分=pi， 计算出DA的积分即可