Question

11. 如图①，在梯形ABCD中，CD//AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4，另有一直角三角形EFG，∠EFG=90

11. 如图①，在梯形ABCD中，CD//AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4，另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点D重合时停止运动，设运动时间为t秒。
（1） 在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时对应时刻t的值或范围。
（2） 以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系，求过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（3） 探究：延长EG交（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

．解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
∴解直角△DAF可得AF=1，DF=3，
当t=4-3时，四边形FBCG为正方形．
当0＜t≤4时，四边形AEGD为平行四边形．

（2）点D、C的坐标分别是（1，3），（5，3）
∵抛物线经过原点O（0，0）
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
将D、C两点坐标代入得{a+b=325a+5b=3
解得{a=-35b=653
∴抛物线的解析式为y=-35x2+635x；

（3）∵点Q在抛物线上，
∴点Q（x，-35x2+635x）
过点Q作QM⊥x轴于点M，又B（5，0）
则S△ABQ=12AB•QM=52|-35x2+635x|=12|-3x2+63x|；
又S四边形ABCD=（4+5）×3×12=923
令12|-3x2+63x|=923
∵EG的延长线与抛物线交于x轴的上方
∴-x2+6x=9解得x=3
当x=3时，y=-35×9+635×3=953
∵∠QEM=60°，
∴EM=MQtan60°=953÷3=95
∴t=3-95=65（秒）．
即存在这样的时刻t，当t=65秒时，△AQB的面积与梯形ABCD的面积相等．

Answer 2

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Answer 3

botpa

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没图

Answer 5

图

Answer 6

解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
∴解直角△DAF可得AF=1，DF= 3 ，
当t=4- 3 时，四边形FBCG为正方形．
当0＜t≤4时，四边形AEGD为平行四边形．
（2）点D、C的坐标分别是（1， 3 ），（5， 3 ），
∵抛物线经过原点O（0，0），
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将D、C两点坐标代入得 a+b= 3 25a+5b= 3 ，
解得 a=- 3 5 b=6 5 3 ，
∴抛物线的解析式为y=- 3 5 x2+6 3 5 x；

（3）∵点Q在抛物线上，
∴点Q（x，- 3 5 x2+6 3 5 x），
过点Q作QM⊥x轴于点M，又B（5，0），
则S△ABQ=1 2 AB•QM=5 2 |- 3 5 x2+6 3 5 x|=1 2 |- 3 x2+6 3 x|；
又S四边形ABCD=（4+5）× 3 ×1 2 =9 2 3 ，
令1 2 |- 3 x2+6 3 x|=9 2 3 ，
∵EG的延长线与抛物线交于x轴的上方，
∴-x2+6x=9解得x=3，
当x=3时，y=- 3 5 ×9+6 3 5 ×3=9 5 3 ，
∵∠QEM=60°，
∴EM=MQ tan60° =9 5 3 ÷ 3 =9 5 ，
∴t=3-9 5 =6 5 （秒）．
即存在这样的时刻t，当t=6 5 秒时，△AQB的面积与梯形ABCD的面积相等．