Question

设f(x)是定义在上的函数,对m,n属于R恒有fm+n)=f(m)f(n),且当x>0时，0<f(x)<1，证明f(0)=1

Answer 1

设f(x)是定义在上的函数，m,n∈R，恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1，证明f(0)=1。
证明：f(0)=f(o×0)=f(0)f(0)=f²(0)，故有f²(0)-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0，故有f(0)=1或f(0)=0.

Answer 2

证明：f(0)=f(o×0)=f(0)f(0)=f²(0)，故有f²(0)-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0，故有f(0)=1或f(0)=0.
若f(0)=0,则f(x)=(x+0)=f(x)f(0)=0,即f为常数函数，与条件矛盾，故f(0)=1

Answer 3

f(2+0)=f(2)f(0)
x>0时，0<f(x)<1 0<f(2)<1
f(0)=1

Answer 4

令m=1,n=0，由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
1>0 0<f(1)<1 f(1)≠0，因此f(0)-1=0
f(0)=1