Question

a1＞1，公比q＞0，设bn=log2底an，且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0,证明bn为等差数列

Answer 1

证：
an=a1q^(n-1)
bn=log2(an)=log2[a1q^(n-1)]=log2(a1)+(n-1)log2(q)
b1=log2(a1)
bn-b(n-1)=log2(a1)+(n-1)log2(q)-log2(a1)-(n-2)log2(q)=log2(q)，为定值。
数列{bn}是以log2(a1)为首项，log(q)为公差的等差数列。

证明其实到这里就可以了，后面的两个等式是多余的，不过利用两个等式可以求出{bn}具体的数值表达形式。

b1+b3+b5=b3-2d+b3+b3+2d=3b3=6 b3=2
b1b3b5=0 (b3-2d)b3(b3+2d)=0
2(2-2d)(2+2d)=0
1-d²=0 d=1或d=-1(an是对数的真数，an>0，d=-1舍去)
b1=b3-2d=2-2=0
{bn}是以0为首项，1为公差的等差数列。

追问

在最后一步证明为定值的时候，化简的时候n-1也应该是loga1前的系数把

追答

不对。你求的是bn，不是前n项的和或者积。因此bn=log2[a1q^(n-1)]=log2(a1)+(n-1)log2(q)
只有log2(q)前面有含n的式子，log2(a1)前面没有的。

追问

bn=log2[a1q^(n-1)]不是应该等于(n-1)（log2(a1)+log2(q)）吗

追答

看来你根本就不知道什么是等比数列。加括号表达一下吧，会更明确些。
an=a1[q^(n-1)]，注意，只有q的指数是含n的式子。
bn=log2[a1(q^(n-1))]=log2(a1)+log2[q^(n-1)]=log2(a1)+(n-1)log2(q)
希望你能看懂。