Question

如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上

如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B。（1)若角F1AB=90°，求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2，且AF2=2F2B，求椭圆的标准方程。

Answer 1

(1)若角F1AB=90°∠F1AO=45º
F1A=a, OF1=c
∴e=c/a=sin45º=√2/2
(2) c=1 ， 椭圆的右准线为l:x=a^2
A(0,b) 到l的距离 d1=a^2
设 B（x',y'),
∵AF2=2F2B ∴y'=-b/2
且B到l的距离 a^2-x' =a^2/2
==> x'=a^2/2
将 B（a^2/2，-b/2) 代入
x^2/a^2+y^2/b^2=1
得：a^2/4+1/4=1
a^2=3,b^2=2
∴椭圆的标准方程为
x^2/3+y^2/2=1

Answer 2

（1）F1（-C,O）,F2(C,O),A(O ,b)
AF1向量=（c,o）—（o,b）
=(-c,-b)
同理，AF2向量=（c,-b）
又角F1AF2等于90度
所以AF1向量乘以AF2向量等于0，
所以a平方等于b平方
所以离心率为二分之根号二
（2）F2是AB上靠近B 的三等分点C（1,0）
所以B（3c/2，-b/2）=（3/2，-b/2）
B在椭圆上
所以把B点坐标带入椭圆得到a=根号3，b=根号2，c=1

Answer 3

(1)2a^2=(2c)^2 所以e=c/a=(根号2)/2