Question

为什么函数在点x=0处可微，但不连续？

Answer 1

则全微分dz=[y*x^(y-1)]dx+[(lnx)*x^y]dy。

解答过程如下：

z=f(x,y)=x^y

则函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全微分为：

dz=f'x(x, y)dx + f'y(x, y)dy

=[y*x^(y-1)]dx+[(lnx)*x^y]dy

定理1

如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2

若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

定理3

若函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数必存在，且函数z = f (x, y)在点(x,y)的全微分。