Question

圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的炫长为2根号5.

（1）求圆C的方程
（2）是否存在斜率为1的直线L，使得以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出L的方程:若不存在，说明理由

Answer 1

解：弦端点设为D(d,0)，E(d+2√5,0)，圆心C(c,-2c)；
在△CDE中，CD=CE=3，DE=2√5，可得圆心纵坐标为-2c=-2，即c=1;
所以圆心为C(1,-2)。
（1）圆C方程为：(x-1)²+(y+2)²=9 。
（2）设存在L：y=x+k，则L被圆C所截交点： (x-1)²+(x+k+2)²=9
解得x=[-(k+1)±√(-k²-6k+9)]/2 ，即x2-x1=√(-k²-6k+9)，(x1+x2)/2=-(k+1)/2
所以，圆心 Z ( -(k+1)/2, (k-1)/2 )；半径为r=√(-k²-6k+9) / √2 ；
所以圆方程为：[ x + (k+1)/2 ]² + [ y - (k-1)/2 ]² = (-k²-6k+9)/2 ；
此圆需过(0,0)点，所以有：(k+1)² /4 +(k-1)² /4 = (-k²-6k+9)/2 ；
解得k满足：k=-4, 1。
所以，所求直线L为：y=x-4，或 y=x+1。