Question

已知向量a=（sinθ，1），向量b=(1,cosθ),-π/2<θ<π/2。（1）若向量a⊥向量b，求θ（2）

求│向量a+向量b│的最大值

Answer 1

向量a=（sinθ，1），向量b=(1,cosθ),
若向量a⊥向量b，则向量a•向量b=sinθ+cosθ=0
又sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)，所以sin(θ+π/4)=0
因为-π/2<θ<π/2，所以θ+π/4=0，即θ=-π/4，
（2）向量a+向量b=(sinθ+1，1+cosθ)
│向量a+向量b│=√[(sinθ+1)²+(1+cosθ)²]
=√[2(sinθ+cosθ)+3]=√[2√2sin(θ+π/4)+3]
因为-π/2<θ<π/2，所以当θ=π/4时，
│向量a+向量b│有最大值√(2√2+3)=√2+1.

Answer 2

解：
(1)∵a⊥b
∴sinθ+cosθ=0
sinθ=-cosθ
∵-π/2<θ<π/2
∴cosθ=√2/2
sinθ=-√2/2
∴θ=-π/4

(2)|a+b|=√a^2+2ab+b^2=√(sinθ)^2+2sinθ+1+2sinθ+2cosθ+(cosθ)^2+2cosθ+1
=√3+4sinθ+4cosθ
=√3+4√2sin(θ+π/4)
∵4√2sin(θ+π/4)最大值为4√2
∴|a+b|最大值为√(3+4√2)
答：|a+b|最大值为√(3+4√2)

Answer 3

（1）a*b=sinθ+cosθ=根号2sin（θ+π/4)=0
θ+π/4=kπ，θ=-π/4
（2）|a+b|^2=a^2+b^2+2a*b=3+4根号2sin（θ+π/4)
|a+b|=根号2+sin（θ+π/4)
-π/2<θ<π/2，-π/4<θ+π/4<3π/4
最大值就是根号2+1