Question

一道高二数学题...谢谢

已知A、B为抛物线C;y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若向量FA=负4倍的向量FB,
则直线AB的斜率为多少（要有简单的解题思路）

Answer 1

抛物线y²=2px的焦点坐标为（p/2，0），所以y²=4x的焦点F坐标为（1，0）。
向量FA=负4倍的向量FB，说明A、F、B三点共线，并且有FA=4FB (指长度)，B点横坐标<A点横坐标。

由于抛物线是关于x轴的对称图形，所以过A、B的直线存在两种不同k值（互为相反数），下面只讨论k>0的情况。

设过A、B的直线方程为：y=kx+b (k>0)
因为直线过F点，代入F点坐标，有：b=-k
所以过A、B的直线方程为：y=kx-k

过A、B的直线与抛物线的交点为以下方程组的解：
y²=4x
y=kx-k
整理得：
k²x²-(2k²+4)x+k²=0
此方程的两个根x1,x2 (x1<x2),即为B、A两点的横坐标。
根据韦达定理，有：
x1+x2=-b/a=(2k²+4)/k²……①
x1*x2=c/a=k²/k²=1…………②

因为FA=4FB，所以FA、FB在x轴上的投影也符合同样的关系。
即：
x2-1=4(1-x1)
4x1+x2=5……………………③

解由①②③组成的方程组，可得：
x1=1/4
x2=4
k=4/3

A、B所在的直线方程是：
y=4/3x-4/3 或 y=-4/3x+4/3