Question

设f(x)是定义在R上的函数，对M.n属于R恒有f(m+n)=f(m)xf(n),切当X>0时0<f(x)<1. (3)求证；f(x)在R上是减函

拜托.会的用公式法解下..

Answer 1

凡是f(m+n)=f(m)f(n)这样子的，你就把它当作指数函数来思考就行了，但是不能说它就是指数函数，只是想题的时候便于思考
当X>0时0<f(x)<1.就知道它是减函数了
至于证明，首先，指数函数必过(0,1)
所以先求出f(0)，令m=0,f(n)=f(0)f(n)
因为当X>0时0<f(x)<1所以f(x)不恒为0，所以能把f(n)约掉
得f(0)=1
然后令m+n=x2,m=x1且x2>x1
则f(x2)=f(x1)f(x2-x1) 只要证明它小于f(x1)就行了，其中f(x2-x1)大于0
所以只要证明f(x)恒大于0
假设存在一点x0<0使得f(x0)≤0
取m>-x0>0,n=x0,则f(m+n)=f(m+x0)=f(m)f(x0)≤0
所以m+x0<0即m<-x0 矛盾！
所以f(x)恒大于0