Question

P为正方形ABCD的对角线AC上一点。求证：PA的平方+PC的平方=2PB的平方

Answer 1

证明：作对角线BD交AC于点O,(假设点P在线段OA上）
因为 ABCD是正方形，
所以 OA=OB=OC,且AC与BD互相垂直，
所以 OA^2+OC^2=2OB^2,
(PA+OP)^2+(PC--OP)^2=2OB^2,
PA^2+2PA*OP+OP^2+PC^2--2PC*OP+OP^2=2OB^2,
PA^2+PC^2+2OP(PA--PC)+2OP^2=2OB^2,
PA^2+PC^2--4OP^2+2OP^2=2OB^2,
PA^2+PC^2=2OB^2+2OP^2,
因为 AC与BD互相垂直，
所以 OB^2+OP^2=PB^2,
所以 PA^2+PC^2=2PB^2。

Answer 2

由余弦定理得：
(PB^2)=(AB^2)+(PA^2)-2AB•PA•√(2)/2---(1)
(PB^2)=(BC^2)+(PC^2)-2BC•PC•√(2)/2---(2)
因为AB=BC ∴(1)+(2)得：
2(PB^2)=2(AB^2)+(PA^2)+(PC^2)-2AB(PC+PA)•√(2)/2
因为PC+PA=AC=√(2)AB
∴2(PB^2)=(PA^2)+(PC^2)