Question

设a∈R,函数f(x)=x²+2a|x-1|,x∈R （1） 讨论函数f(x)的奇偶性 （2） 求函数f(x)的最小值

Answer 1

f(-x)=x^2+2a|x+1|
f(-x)-f(x)=2a(|x+1|-|x-1|), x∈R,只有当a=0时，才有f(-x)-f(x)=0, 此时为偶函数
f(-x)+f(x)=2x^2+2a(|x+1|+|x-1|) 不恒为0.
因此当a=0时，为偶函数
当a<>0时，为非奇非偶函数

2）x>=1时，f=x^2+2ax-2a=(x+a)^2-2a-a^2
当a<=-1时，最小值为f(-a)=-2a-a^2
当a>-1时，最小值为f(1)=1
x<1时，f=x^2-2ax+2a=(x-a)^2+2a-a^2
当a<1时，最小值为f(a)=2a-a^2
当a>=1时，最小值为f(1)=1
综上，得：
当 a>=1, fmin=f(1)=1
当-1=<a<=1,因1>=2a-a^2, 得：fmin=2a-a^2
当 a<-1,因2a-a^2<-2a-a^2, 得：fmin=2a-a^2