Question

两道高二数学题 高手速解.

1.已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1(m≠0）.设函数f(x)=g(x)/x.
(1).若曲线y=f(x)上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为根号2.，求m的值.
(2).k(k∈R）如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点.

2.已知函数f(x)=1/3ax^3+bx²+x+3,其中a≠0.
已知a＞0，且f(x)在区间（0,1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围.

Answer 1

1.已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1
(m≠0）.设函数f(x)=g(x)/x；(1).若曲线y=f(x)上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为√2.，
求m的值；(2).k(k∈R）如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点.
解：(1) 设g(x)=ax²+bx+c，则g′(x)=2ax+b，其图像与直线y=2x平行，故2a=2，即a=1；
又g(x)在x=-1处取得最小值，故有g′(-1)=-2a+b=0，∴b=2a=2；于是g(x)=x²+2x+c，
已知g(-1)=1-2+c=-1+c=m-1，故c=m，于是得g(x)=x²+2x+m；
f(x)=g(x)/x=(x²+2x+m)/x，设f(x)上的点P的坐标为（x，(x²+2x+m)/x)，其到点Q(0，2)的距离
d=√{x²+[(x²+2x+m)/x-2]²}=√[(2x⁴+2mx²+m²)/x²]=√[2x²+2m+(m²/x²)]≧√[2√(2m²)+2m]
=√[2(√2+1)m]=√2，去根号化简得m=1/(√2+1)=√2-1.
(2)令y=f(x)-kx=(x²+2x+√2-1.)/x-kx=[(1-k)x²+2x+√2-1]/x=0
得(1-k)x²+2x+√2-1=0，此方程有实数根，故其判别式Δ=4-4(1-k)(√2-1)=(4√2-4)k-4√2+8≧0
故得k≧(4√2-8)/(4√2-4)=(√2-2)/(√2-1)=(√2-2)(√2+1)=-√2.
即当k≧-√2.时y=f(x)-kx有零点，零点x={-2±√[(4√2-4)k-4√2+8]}/[2(1-k)]，其大小与k有关。
2.已知函数f(x)=(1/3)ax³+bx²+x+3,其中a≠0. 已知a＞0，且f(x)在区间（0,1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围.
解：f′(x)=ax²+2bx+1=a(x²+2bx/a)+1=a[(x+b/a)²-b²/a²]+1=a(x+b/a)²+1-b²/a
∵f(x)在(0，1]上单调递增，故在(0，1]上的导数必>0；由于f′(0)=1>0，故只需f′(1)=a+2b+1>0，
即b>-(a+1)/2。

追问

内个第二题
疑问1.f(x)在(0，1]上单调递增，故在(0，1]上的导数必>0；∴f(1)必定＞f(0)=1
疑问2.是不是改为 故只需f′(1)=a+2b+1>1 .

追答

请注意：f(x)=(1/3)ax³+bx²+x+3，因此f(0)=3≠1；
研究函数的增减性，只需研究其导函数就可以了。导函数f′(x)=ax²+2bx+1是个二次函数，
f′(0)=1>0，因此只要f′(1)=a+2b+1>0，即b>-(a+1)/2就可以了；只要f′(x)在区间(0，1] 内
大于0，就可保证f(x)在该区间内是增函数。

Answer 2

y=g(x)的导函数