Question

为什么矩阵A的三次方是0矩阵，就能得出A的特征值都是0(第二张图片是原题和解析）





Answer 1

矩阵等价于0，假如A的特征值为x那A就等价于x，直接带入代数式运算λ^3=0，所以λ=0。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的重数。

Answer 2

矩阵运算里，所谓特征值就是和矩阵在实数上等价的一个数。
O矩阵等价于0，假如A的特征值为x那A就等价于x
上述等价可直接带入代数式运算
所以上述λ^3=0
λ=0

追问

A是n阶矩阵，不应该只能得到(λ1·λ2·λ3······λn)^3=0，那他是怎么得到λ1=λ2=λ3=······=λn=0的（如果不是λi=0的话，那（A-E）或者（A+E）的某个特征值有可能等于0，（A-E）或者（A+E）的行列式有可能为0啊，这样（A-E）或者（A+E）就不可逆了啊）

追答

Answer 3

A的三次方是个零矩阵，则A的三次方的特征值全为0，这个很好理解，然后A的三次方开三次方得A，对应特征值也开三次方还都是0，所以结果特征值全是0

Answer 4

因为A的三次方的特征值是A的特征值的三次方，A的三次方是O矩阵，所以特征值的三次方是0，从而A的特征值就是0啦。

追问

A是n阶矩阵，不应该只能得到(λ1·λ2·λ3······λn)^3=0，那他是怎么得到λ1=λ2=λ3=······=λn=0的（如果不是λi=0的话，那（A-E）或者（A+E）的某个特征值有可能等于0，（A-E）或者（A+E）的行列式有可能为0啊，这样（A-E）或者（A+E）就不可逆了啊）

Answer 5

矩阵运算里，所谓特征值就是和矩阵在实数上等价的一个数。
O矩阵等价于0，假如A的特征值为x那A就等价于x
上述等价可直接带入代数式运算
所以上述λ^3=0