Question

已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且op=2e1-e2+3e3,oa=e1+2e2-e3,ob=-3e1+e2+2e3,oc=e1+e2+e3

1.p,a,b,c四点是否共面
2.能否以｛oa,ob,oc｝作为空间的一个基底？若能，试表示向量op
（要过程，谢谢）

Answer 1

解：（1）假设四点共面，则存在实数x，y，z使 OP→=xOA→+yOB→+zOC→，
且x+y+z=1，
即2e1-e2+3e3=x（e1+2e2-e3）+y（-3e1+e2+2e3）+z（e1+e2-e3）．（4分）
比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组
{x-3y+z=2
{2x+y+z=-1
{-x+2y-z=3
解得
{x=17
{y=-5
{z=-30
与x+y+z=1矛盾，故四点不共面；（6分）
（2）若向量 OA→， OB→， OC→共面，则存在实数m，n使 OA→=mOB→+nOC→，
同（1）可证，这不可能，
因此 {OA→，OB→，OC→}可以作为空间的一个基底，
令 OA→=a， OB→=b， OC→=c，
由e1+2e2-e3=a，-3e1+e2+2e3=b，e1+e2-e3=c联立得到方程组，
从中解得
{e1=3a-b-5c
{e2=a-c
{e2=4a-b-7c.（10分）
所以 OP→=17OA→-5OB→-30OC→．（12分）