Question

三角形ABC中,AC=BC=2,角ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是________.

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Answer 1

E为AC中点时有最小值
E,D都为中点，所以ED//AC
所以ED垂直于BC,CE垂直于AB
三角形ABC为等腰直角三角形
CE=1/2AB=2根号2
ED=1/2BC=1
所以最小值为1+2根号2

Answer 2

以AB为对称轴，做C点的对称点C1
连接C1D，CD
EC+ED=DC1+ED
过点D做DF垂直于AB连接CC1，交AB于点H
因为点C,C1关于AB对称
所以AH垂直于AB
又因为BF垂直于AB
所以BF平行于CC1
所以三角形DEF相似于三角形C1HE
因为对称
所以三角形CEH全等于三角形CIEH
所以三角形DEF相似于三角形CEH
因为D是中点
且DF平行于CH
所以DE是三角形CBH的中位线
所以DE=1/2AH
所以EF=1/2EH
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以BH=1/2AB=根号2
因为DF是中位线
所以FH=1/2BH=二分之根号二
因为EF/EH=1/2
所以EF=六分之根号二，EH=三分之根号二
运用勾股定理
得CE=三分之二根号五，DE=三分之根号五
CE+DE=根号五

Answer 3

设C关于直线AB的对称点为F,则CAFB是正方形。当E是AB与FD的交点时，EC+ED最小。
因为对AB上任意一点G,CG+DG=FG+DG>DF=FE+ED=EC+ED.
FD^2=FB^2+BD^2=2^2+1^2=5,
EC+ED的最小值是√5.