Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列且cosB=3/4.

求（cosA/sinA）+（cosC/sinC）的值。

Answer 1

其实这题也不是很难的，用三角公式化一下就好了，公式记得不太清楚了，你看看对不对？
因为等比数列，所以b^2=ac；
（cosA/sinA）+（cosC/sinC）=（cosAsinC+sinAcosC）/（sinAsinC）=cos（A+C）/（sinAsinC）=cos(兀-B)/（sinAsinC）= -cosB/（sinAsinC）
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC,所以sinA=(asinB)/b,sinC=(csinB)/b,所以sinAsinC=(asinB)/b乘以csinB)/b，即ac乘以sinB的平方除以b^2；
因为b^2=ac（已证），所以sinAsinC=（sinB）^2=1-(cosB)^2
所以（cosA/sinA）+（cosC/sinC）=-cosB/（1-(cosB)^2）=（-3/4）/(1-9/16)=-12/7

Answer 2

令M=（cosA/sinA）+（cosC/sinC）,则M=（cosAsinC+cosCsinA）/ sinAsinC=sin(A+C）/ sinAsinC,
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC 和bb=ac, 所以sinAsinC=(asinB/b) X (csinB/b)=(ac/bb)sinBsinB=sinBsinB，又因为sin(A+C）=sin(180-B）=sinB=√(1-cosB2)=√(1-9/16)=√7/4， 所以M=sinB/sinBsinB=1/sinB==4√7/7