关于两角差的余弦公式的问题
两角差的余弦公式cos(a-b)=.....推导的时候为什么说只需考虑0≤a-b≤pai的情况?书上说因为余弦函数的周期为2pai,并且是偶函数,但是这样也应该是研究[-...
两角差的余弦公式cos(a-b)=.....推导的时候为什么说只需考虑0≤a-b≤pai的情况?书上说因为余弦函数的周期为2pai,并且是偶函数,但是这样也应该是研究[-pai,pai]啊,跟偶函数有什么关系啊?
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证明:在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B,则向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosα,sinβ),
由向量数量积的坐标表示,有
向量OA•向量OB=(cosα,sinα)•(cosβ,sinβ) =cosαcosβ+sinαsinβ
(1)若α-β∈[0,π],则向量OA与向量OB夹角为α-β,
向量OA•向量OB=|向量OA|•|向量OB|cos(α-β)=cos(α-β)
于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
(2)若α-β是任意角,设向量OA与向量OB的夹角为θ,则
α-β=2kπ+θ(θ∈[0,2π],k∈Z)
①θ∈[0,π]时,(1)已证成立
②θ∈[π, 2π]时,2π-θ∈[0,π],则cos(2π-θ)= cosθ= cos(α-β)
所以,对于任意角α,β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
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