Question

已知函数f(x)定义在(0,正无穷大)上的函数,且对任意的x,y属于(0,正无穷大),有f(xy)=f(x)+f(y)...

已知函数f(x)定义在(0,正无穷大)上的函数,且对任意的x,y属于(0,正无穷大),有f(xy)=f(x)+f(y).已知当x＞1时，f(x)＞0，且f（3）=1
（1）判断f(x)的单调性，并加以证明。（2）若实数m满足不等式f(m-1)-(m+1)＞2，试求m的取值范围。
急急急急急。。。。。。。

Answer 1

(1) 函数f(x)是增函数，原因是:
由于f(x)=f(x1)=f(x)+f(1)，所以f(1)=0;
又因为对于(0,1)上的任意点x，都满足(1/x)>1,
而f(1)=f(x(1/x))=f(x)+f(1/x)=0, 即
f(x)=-f(1/x)<0(因为当x＞1时，f(x)＞0).
对(0,正无穷大)上的任意两点x1, x2，当0<x1<x2时, 有0<x1/x2<1, 并且f(x1)=f([x1/x2]x2)=f([x1/x2])+f(x2)<f(x2)，所以函数f(x)在(0,正无穷大)上是增函数.
第2问令X=Y=3可得F（9）=f(3)+f(3)，又因为f(3)=1所以可推得F(9)=2
所以不等式f(m-1)-(m+1)＞2等价于f(m-1)-(m+1)＞f(9)
又因为任意的x,y属于(0,正无穷大),有f(xy)=f(x)+f(y).，所以f(m-1)+F(m+1)=F[(m-1).(m+1)]=F(M平方-1）＞f(9)
再根据定义域上单调递增，所以得：M平方减1＞9解得M＞根号10

这题目关键点在于你能否找到F（9），这题目也可以把抽象函数化为具体函数

Answer 2

(1) 函数f(x)是增函数，原因是:
由于f(x)=f(x*1)=f(x)+f(1)，所以f(1)=0;
对(0,1)上的任意点x，(1/x)>1, 而0=f(1)=f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x), 即
f(x)=-f(1/x)<0(因为当x＞1时，f(x)＞0).
对(0,正无穷大)上的任意两点x1, x2，当0<x1<x2时, 有0<x1/x2<1, 并且f(x1)=f([x1/x2]*x2)=f([x1/x2])+f(x2)<f(x2)，所以函数f(x)在(0,正无穷大)上是增函数.
第2问左边就是f(m-1)-(m+1)吗？ 这样和右边不是可以化简了吗？不肯定，先问问。

Answer 3

(1) 设x1>x2>0,f(xy)=f(x)+f(y) 有f(x1)=f((x1/x2) X x2)=f(x1/x2)+f(x2)
即f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0(因为x1>x2，所以x1/x2>1)
所以单调递增

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