Question

在三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=3根号3，tan2B=tanAtanC,则∠B=______.

注意：看清楚喔。。。
是tan2B=tanAtanC
不是tan²B=tanAtanC

Answer 1

输入有误吧tan²B=tanAtanC,
tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3√3-tanB)/(1-tan²B)
所以 -tanB=(3√3-tanB)/(1-tan²B)
所以 -tanB+tanBtan²B=3√3-tanB
所以 tanBtan²B=3√3
所以 tanB=√3
所以 B=60°

追问

我也在想是不是输入有误，但是试卷上就是这样的，也许是输入有误把
如果就是tan2B=tanAtanC，能做吗？

追答

能做，不是特殊值

tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3√3-tanB)/(1-tan²B)
所以 -tanB=(3√3-tanB)/(1-tan2B)
所以 -tanB+tanBtan2B=3√3-tanB
所以 tanBtan2B=3√3
所以 2tan²B/(1-tan²B)=3√3
所以 2tan²B=3√3-3√3tan²B
所以 tan²B=3√3/(2+3√3)=(27-6√3)/21
所以 tanB=±√（(27-6√3)/21）
所以 B=arctan√（(27-6√3)/21）
或 B=π-arctan√（(27-6√3)/21）

刚才做完，发现不是特殊值，

追问

哦，好的

Answer 2

tanb=tan(180-a-c)=-tan(a+c)=-(tana+tanc)/(1-tanga*tanc)
因为tana+tanb+tanc=3倍根号下3，所以tanb=-(3倍根号下3-tanb)/(1-tanga*tanc)
因为tanb*tanb=tana*tanc，所以tanb=-(3倍根号下3-tanb)/(1-tanb*tanb),
解得tanb=根号3
B就是60度

祝你学习愉快

追问

看清楚喔。。。
是tan2B=tanAtanC
不是tan²B=tanAtanC