Question

高中数学:必修1

已知二次函数二次项系数为a，且不等式f（x)>2x的解集为（1,3）。
（1）若方程f（x)+6a=0有两个相等的根，求f（x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

Answer 1

已知二次函数二次项系数为a，且不等式f（x)>2x的解集为（1,3）。
（1）若方程f（x)+6a=0有两个相等的根，求f（x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。
(1)解析：∵二次函数二次项系数为a，且不等式f（x)>2x的解集为（1,3）
∴f(x)-2x>0
设f(x)-2x=a(x-1)(x-3)=a(x^2-4x+3)==>f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a
∵方程f（x)+6a=0有两个相等的根
ax^2+(2-4a)x+9a=0
⊿=4-16a+16a^2-36a^2=0==>a1=-1,a2=1/5
∴f(x)=-x^2+6x-9或f(x)=1/5x^2+6/5x+9/5
(2)解析：∵f(x)=ax^2+(2-4a)x+3a ，f(x)的最大值为正数
∴a<0
(12a^2-4+16a-16a^2)/(4a)>0
(-4+16a-4a^2)/(4a)>0
-4+16a-4a^2>0==>2-√3<a<2+√3,且a>0
-4+16a-4a^2<0==>2-√3<a<2+√3,且a<0
综上，a<0

Answer 2

∵f（x）与f（x）+2x的二次项系数相等，
∴f（x）+2x的二次项系数为a．
又∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
∴设f（x）+2x=a(x-1)(x-3)（a＜0），
∴f（x）=a（x²-4x+3）-2x=ax²-（4a+2）x+3a．
∵方程f（x）+6a=0有两个相等实根
∴ax²-（4a+2）x+9a=0有两个相等实根．
∴[-（4a+2）]²-36a²=0，解得a=1（舍去）， a=-1/5
∴ f(x)=-1/5x2-6/5x-3/5

设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-2x两个根是1，3，
即ax²+（b+2）x+c=0两个根是1，3．
∴ -b+2/a=3和c/a=2解出 b=-3a-2，c=2a
又f（x）的最大值为正数，即 4ac-b²/4a＞0
消去b，c得到关于a不等式x（x-1）（x+1）（x-3）＜0，
解得a∈（-1，0）∪（1，3）．
故答案为：（-1，0）∪（1，3）．

Answer 3

解：设y=f(x)=ax^2+bx+c
f(x)-2x=ax^2+(b-2)x+c>0的解集为(1,3)，故a<0，且有f(x)-2x=ax^2+(b-2)x+c=a(x-1)(x-3)，故f(x)=a(x-1)(x-3)+2x
(1)方程f（x)+6a=0也即a(x-1)(x-3)+2x+6a=ax^2-(4a-2)x+9a=0有两个相等的根，故
△=[-(4a-2)]^2-4a*9a=0解得a=-1(另一根1/5>0舍去)
故f(x)=-(x-1)(x-3)+2x=-x^2+6x-3
(2)f(x)=a(x-1)(x-3)+2x=ax^2-(4a-2)x+3a=a[x^2-(4a-2)/a*x]+3a=a[x-(2a-1)/a]+3a-(2a-1)^2/a
因a<0，故f(x)的最大值为f[(2a-1)/a]=3a-(2a-1)^2/a
于是有3a-(2a-1)^2/a>0，解得a>2+√3或a<2-√3且a≠0。结合a<0，得a的取值范围为：a<0

Answer 4

设f(x)=ax^2+bx+c
ax^2+(b-2)x+c>0在（1,3）恒成立
a>0
(b-2)^2-4ac<0的解为(a-1)(a-3)<0

在（1）问中又有 (b-6a)^2-4ac=0

Answer 5

不答了，2楼正解