Question

数学题~~~已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a、b、c均为实常数，且a≠0)，满足条件f(0)=f(2)=0,

且方程f(x)=2x有两个相等的实数解。（1）求函数解析式；（2）试确定一个区间P，使得f(x)在P内单调递减且不等式f(x)≥0在P内恒成立；（3）是否存在这样的实数m、n，满足m<n,使得f(x)在区间[m，n]内的取值范围恰好是[4m，4n]？如果存在，试求出m、n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解答：
由f(0)=f(2)=0得，c=0，4a+2b=0
又由方程f(x)=2x有两个相等的实数解，
得判别式方程△=0，
即方程ax²+bx+c=2x的判别式△=0，
即得ax²+bx-2x+c=0，
得（b-2）²-4ac=0
由c=0,得b=2，
又有上面4a+2b=0，得
a=-1.
(1). 由以上得该函数解析式为：
f(x)=-x²+2x.
(2). 由函数f(x)=-x²+2x求得其顶点坐标为(1,1),
则求得满足f(x)单调递减且f(x)≥0的区间P为[1,2].
(3). 假设存在这样的实数m、n，满足m<n,使得f(x)在区间[m，n]内的取值范围恰好是[4m，4n]，
则有f(m)=4m，f(n)=4n
解得m=-2,n=0.

Answer 2

1) f(0)=0==>c=0
f(2)=0==>4a+2b=0
f(x)=2x==>ax^2+(b-2)x=0==>x=0.或x=(2-b)/a, 而由已知条件，得(2-b)/a=0==》b=2
则a=-1
==》f(x)=-x^2+2x
2) f(x)>=0==> 0=< x<=2
而使得f(x)在P内单调递减,则 1=<P<=2
3)m=0, n=1/4