Question

已知f（X）是在定义域R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（X)*f（Y)=f（x+y）

1.求f（0）的值
2.设当x＜0时，都有f（x）＞f（0），证明：f（ x）在（-∞，+∞）上是减函数
那个，各位姐姐哥哥阿姨叔叔，能讲详细一点吗，谢谢了

Answer 1

解：
1、令x=y=0，代入关系式f(x)*f(y)=f(x+y)得：
f(0)*f(0) = f(0+0)
==> f(0)=0；或 f(0)=1；
又∵ f(x) 恒不为零，f(0)=0 舍去
∴ f(0)=1；

2、x＜0时，都有f(x) > f(0) >0，则当x>0 时，
由 f(0) = f(x-x) = 1
==> f(x-x) = f(x)*f(-x) = 1
==> f(x) = 1/f(-x) >0
因此对于任意实数 x，恒有 f(x)>0；

设 x1<x2；
x1-x2<0 ==> f(x1-x2)>f(0) ==> f(x1-x2) > 1；
则：
f(x2) - f(x1) = f(x2) - f(x2+(x1-x2))
= f(x2) - f(x2)*f(x1-x2)
= f(x2)[1-f(x1-x2)]
∵ f(x2)>0；且f(x1-x2)>1 ==> 1-f(x1-x2) < 0
∴ f(x2) - f(x1) = f(x2)[1-f(x1-x2)] < 0
因此，f(x) （-∞，+∞）上是减函数

追问

恩恩，pretty good，仔细看看全明白了，说的不错，赞赞，只不过"x＜0时，都有f(x) > f(0)"这个是第二小题的条件啊，证明第一小题证明能用呢

追答

赞了这么多，我太开心了，不过别忘了采纳喔。也祝你开心快乐！

追问

你也是哈，只不过"x＜0时，都有f(x) > f(0)"这个是第二小题的条件啊，证明第一小题证明能用呢