Question

初二几何问题：

如图。已知AD、AF分别是两个钝角三角形△ABC、△ABE的高。如过AD=AF，AC=AE，求证：BC=BE。

Answer 1

海语天风001在证明三角形ABC全等于三角形ABE时条件错了，（边，边，角）是不能判定一般三角形全等的。
正确的证法如下：
因为 AD,AF是钝角三角形ABC和三角形ABE的两条高，
所以 三角形ACD,AEF,ABD,ABF都是直角三角形，
在直角三角形ACD和AEF中，因为 AD=AF , AC=AE,
所以 直角三角形ACD全等于直角三角形AEF(斜边，直角边）
所以 CD=EF,
在直角三角形ABD和ABF中，因为 AD=AF, AB=AB,
所以 直角三角形ABD全等于直角三角形ABF(斜边，直角边）
所以 BD=BF,
因为 BD=BF, CD=EF,
所以 BC=BE.

Answer 2

证明：∵AD⊥BC,AF⊥BE
∴△ADC和△AFE△、ADB、△AFB是直角三角形
在Rt△ADC和Rt△AFE中
∵AC=AE,AD=AF
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（H.L.)
∴AC=AE，∠DAC=∠FAE（全等三角形的性质）
在ADB和Rt△AFB中
∵AD=AF,AB=AB（公共边）
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（H.L.)
∴∠DAB=∠FAB（全等三角形的性质）
∴∠DAB-∠DAC=∠FAB-∠FAE （等式的基本性质）
即：∠CAB=∠EAB
在△ABC和△ABE中
∵AC=AE,∠CAB=∠EAB,AB=AB
∴△ABC≌△ABE（S.A.S.)
∴BC=BE（全等三角形对应边相等）

Answer 3

∵AD⊥BD，AF⊥BF
∴∠ADB＝∠AFB＝90
∵AD＝AF，AB＝AB（HL）（AD，AF是直角边，证HL也可一条直角边再加一条斜边）
∴△ABD全等于△ABF
∴∠ABD＝∠ABF
∵AC＝AE，∠ADB＝∠AFB＝90，AD＝AF（HL）
∴△ADC全等于△AFE
∴∠DCA=∠AEF
又∵∠DCA+∠ACB=180
∠AEF+∠AEB=180
∴∠ACB=∠AEB
∵∠ACB=∠AEB，AB=AB，∠ABD＝∠ABF(ASA)
∴△ABC全等于△ABE
∴BC＝BE

Answer 4

证明：
∵AD⊥BD，AF⊥BF
∴∠ADB＝∠AFB＝90
∵AD＝AF，AB＝AB
∴△ABD全等于△ABF
∴∠ABD＝∠ABF
∵AC＝AE
∴△ABC全等于△ABE
∴BC＝BE

追问

HL要求直角边，SAS要求两对应边夹对应角。你这个△ABD不能全等于△ABF啊

追答

直角三角形中，两边相等，则第三边必然相等，这个不需要说明吧。这是直角三角形的特殊性。可以用的。

Answer 5

在Rt△AFE和Rt△ADC中：AC=AE
AD=AF
∴Rt△AFE≌Rt△ADC（HL）
同理Rt△AFB≌Rt△ADB
∴EF＝CD BF=BD
∴BC=BE