Question

高中圆锥曲线综合问题

如图，在x轴上方的线段AB交y轴的正半轴于一点M(0，m)，AB所在直线的斜率为k（k＞0），点A在第一象限，点A、B到y轴的距离的差为4k。以y轴为对称轴，过A、O、B三点的抛物线记为C.
(1)求抛物线C的方程
(2)设直线AB的方程为x-2y+12=0，过A、B两点的圆D与抛物线C在A点处有共同的切线，求圆D的方程；
(3)若直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分（2）中圆D的面积，求ab的最大值.

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Answer 1

（1）由题意：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)。
则由直线斜率可知：(y₂-y₁)÷(x₂-x₁)=k
∵ |x₁|-|x₂|=4k，
即 x₁+ x₂ =4k，
再设抛物线方程为：y=ax²，A，B在抛物线上，∴(y₂-y₁)÷(x₂-x₁)=(ax₂²-ax₁²)÷(x₂-x₁)=a(x₁+ x₂)=k
∴a=1/4
∴C：y=0.25x²

（2）∵AB的方程为x-2y+12=0，∴解得A(6，9)，B(-4，4)
∴C在A处的切线为：y=3x-9，同时也是圆的切线。
∵圆的切线与该切点到圆心的半径垂直，
∴A点和圆心过直线：y=﹣(1/3)x+11，设圆心为D，则|DA|=|DB|，则断定D一定在AB的中垂线上，
∵AB中垂线为：y=﹣2x+8.5，则与y=﹣(1/3)x+11 的交点即为圆心。得：D(﹣1.5，11.5)
∴圆D：(x+1.5)²+(y-11.5)²=62.5

（3）∵直线ax-by+1=0 始终平分圆D的面积，
∴该直线必过圆心D。∴ ﹣1.5a－11.5b+1=0，∴a=(1-11.5b)/1.5
∴ ab=(1-11.5b)b/1.5= -(23/3)b²+(2/3)b
∴可知，当b=1/23时，ab最大，为1/69

Answer 2

解：（1）AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x2=2py，且A（x1，y1），B（x2，y2），
∵由图可知x1＞0，x2＜0．|x1|-|x2|=4k，
即x1+x2=4k．
把y=kx+m代入x2=2py得x2-2pkx-2pm=0，
∴x1+x2=2pk．
∴2pk=4k，
∴p=2．
故所求抛物线方程为x^2=4y．
(2)联立x^2=4y, x-2y+12=0 , 解得x1=6 x2=-4 所以A(6,9)B(-4,4), 求导得Ka=3, Kd-a=-1\3, 所以AD:X+3Y-33=0 设AB中点C（1，13\2) 易求得DC:4X+2Y-17=0 联立 AD和DC求出
点D（-3\2,23\2）R^2=AD^2=125\2 综述 圆D:(X+3\2)^2+(Y-23\2)^2=125\2
(3)因为恒平分圆面积，所以直线恒过点D(-3\2,23\2),代入直线方程得a=(2-23b)\2
所以ab=(-23b^2+2b)\2 配方求最值得最大值为 1\46

终于完成了
大哥看在我辛辛苦苦一字一字做出来的份上给我点分吧