Question

如图,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1,(a>b>0)的22左、右焦点为F1、F2,其上顶点

为A。已知△F1AF2是边长为2的正三角形。
（1）求椭圆C的方程
(2)过点Q（-4，0）任作一动直线L交椭圆C于M、N两点，记向量MQ=向量λQN。若在线段MN上取一点R，使的MR=-λRN，试判断当直线L运动时，点R是否在某一直线上运动，若在求出该定直线，不在说明理由

Answer 1

（1）2a=4,a=2;2c=2,c=1.
∴b^2=3,椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1.
(2)设L:x=my-4,代入上式得
3（m^2y^2-8my+16)+4y^2=12,
(3m^2+4)y^2-24my+36=0,
△/144=m^2-4>0,m>2或m<-2.
设M(x1,y1),N(x2,y2),R(mr-4,r),由向量MQ=向量λQN得
（-4-x1,-y1)=λ(x2+4,y2),y1=-λy2.
y1y2=36/(3m^2+4)>0,∴λ<0.
由MR=-λRN得（mr-4-x1,r-y1)=-λ(x2-mr+4,y2-r),
∴r-y1=-λy2+λr=y1+λr,
r=2y1/(1-λ),?待续