Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1的离心率e=2分之根号2左右焦点分别为F1,F2

抛物线y²=4倍根号2x的焦点F乔好事该椭圆的一个顶点
（1）求椭圆C的方程
（2）已知圆M：x²+y²=2/3的切线l与椭圆相交于A，B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由。

Answer 1

解：(1) 由 y^2=4√2x，得2p=4√2, p=2√2. F(p/2,0) ---> F(√2,0).
设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1.
由题设得a=√2.
又知：e=c/a=√2/2， c=1.
b^2=a^2-c^2=1.∵a>b,椭圆的实轴在X轴上。 F(±1,0)
∴x^2/2+y^2=1
即，x^2/2+y^2/=1. --- (1) 即为所求椭圆C的方程。
(2)设圆M：x^2+y^2=2/3上点（x1,y1)处的切线方程为：
x1x+y1y=2/3 ---- (2)
联解(1),(2)式，求出椭圆C与切线(2)的交点A,B.
再以|AB|为直径，求出圆的方程。
再以特殊点如原点，椭圆的焦点，顶点的坐标代入此圆的方程中，最后判断此圆是否过某个特定点。
因过程过于繁琐，请自己做一下吧。

Answer 2

好难