Question

若X是整数，求证：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数

Answer 1

把原式变一下就是(X+2)(X+8)(X+4)(X+6)+16
然后（(X+2)(X+8)）×（(X+4)(X+6)）+16化简就是
（x²+10x+16）（x²+10x+24）+16
把x²+10x看做一个整体设为a
所以(a+16)(a+24)+16=a²+40a+384+16=a²+40a+400
=(a+20)²
所以（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16是一个完全平方数

追问

a2+4b2-4ab-4b+2a+1

追答

a²+4b²-4ab-4b+2a+1
=a²-4ab+4b²+2a-4b+1
= (a-2b)²+ 2(a-2b) + 1
= (a-2b+1)²

Answer 2

原式=[(x+2)(x+8)][(x+4)(x+6)]+16
=[x²+10x+16][x²+10x+24]+16
=[(x²+10x)²+40(x²+10x)+16*24]+16
=(x²+10x)²+40(x²+10x)+16*25
=(x²+10x)²+40(x²+10x)+20²
=(x²+10x+20)² 为完全平方数。

Answer 3

（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16
=(x+5-3)(x+5-1)(x+5+1)(x+5+3) + 16
= {(x+5)^2-3^2}{(x+5)^2-1^2} + 16
= (x+5)^2-10(x+5)+9+16
= (x+5)^2-10(x+5)+25
= (x+5-5)^2
= x^2，得证

追问

2x2+26xy-60y2

追答

（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16
=(x+5-3)(x+5-1)(x+5+1)(x+5+3) + 16
= {(x+5)^2-3^2}{(x+5)^2-1^2} + 16
= (x+5)^4-10(x+5)^2+9+16
= (x+5)^4-10(x+5)^2+25
= {(x+5)^2-5}^2
得证。

2x2+26xy-60y2
= 2{x^2+13x-30y^2}
= 2(x+15y)(x-2y)

追问

x2(x+y)+x(y2+1)(x+y)+y2

追答

x2(x+y)+x(y2+1)(x+y)+y2？
这个想干什么？
你确定没有写错吗
先采纳了再说~

a2+4b2-4ab-4b+2a+1
=a^2-4ab+4b^2+2a-4b+1
= (a-2b)^2 + 2(a-2b) + 1
= (a-2b+1)^2

Answer 4

：（X+2）（X+4）（X+6）（X+8）+16
=（X+5-3）（X+5-1）（X+5+1）（X+5+3）+16
=[(X+5)^2-9][(X+5)^2-1] +16
=[(x+5)^4-10(x+5)^2+25
=[(x+5)^2-5]^2