Question

数学题啊

如图，已知直线PA交圆O于A，B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且AC平分角PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D 问题补充：

(1)求证：CD为圆O的切线；（2）若DC+DA=6，圆O的直径为10，求AB的长度。

Answer 1

(1)连接CE、OC，∵AB为直径，∴∠ACE=90°，∵AC平分角PAE，∴∠DAC=∠CAE，∵CD⊥PA，∴∠DCA+∠DAC=90°，∵△AOC为等腰三角形，∴∠ACO=∠CAE，∠DAC=∠ACO，则∠DCA+∠ACO=90°，CD⊥OC，CD为圆O的切线；
（2）∵∠DCA=∠CEA，∴△DCA∽△CEA，DA/AC=AC/AE，AC²=DA*AE，设DA=x，AC²=x²+(6-x)²，x²+(6-x)²=10x，x=2或x=9，AC=2√5或AC=3√10，∵DC+DA＞AC，∴x=9，AC=3√10舍去，连接BE，则∠ABE=90°，cos∠BAE=cos(180°-2∠DAC)=-cos(2∠DAC)=1-2cos²∠DAC=1-2/5=3/5，AB=AE*cos∠BAE=10*3/5=6，AB的长度为6.

追问

第二小问最后几个式子不太懂，能不能讲清楚点

追答

∠BAE+∠DAC+∠CAE=∠BAE+2∠DAC=180°，cos(2∠DAC)=2cos²∠DAC-1，-cos(2∠DAC)=1-2cos²∠DAC，cos∠DAC=DA/AC=2/2√5=1/√5，cos²∠DAC=1/5。

追问

cos(2∠DAC)=2cos²∠DAC-1，-cos(2∠DAC)=1-2cos²∠DAC这些式子不懂，我们没学过的

追答

过O做AB的垂线交于F点，∵CD⊥OC，∴CD=FO=4，AB/2=√(OA²-FO²)=3，AB=6。

追问

谢谢，这下懂了

Answer 2

1)连接BC,OC
因为OA=OC，则∠OAC=∠OCA
因为AC平分∠PAE 所以∠DAC=∠CAO,所以∠DAC=∠OCA
因为 CD⊥PA所以 ∠DAC+∠DCA=90°，所以∠OCA +∠DCA=90°
那么∠OCD=90°，且OC为半径，所以CD为圆O的切线
（2） 连接CO，过点A作AF垂直于OC于F,设AD=x，则DC=6-x由勾股定理得到(6-x)^2+(5-x)^2=5^2 求得x=9(舍去) x=2 则CD=6-2=4 连接BC 从而求得三角形CDB相似于三角形CDA
有对应边的比 CD/DB(DA+AB)=DA/CD 即：4/（2+AB）=2/4 从而求得AB=6
请按我叙述的步骤连接一下线段，仔细看看连好的图会更清楚一些。谢谢，抱歉

追问

为什么△CDB和△CDA相似？你这个答案是复制别人的吗？我看过一模一样的