Question

微分方程xy”=y'-x(y')^2的通解为？

Answer 1

第一步：
(1) 令y'=p, 则y''=p' , 原来的二阶微分方程xy”=y'-x(y')^2就可以化为以p为函数的一阶微分方程(是n=2的伯努利方程)：
xp'=p-xp^2
(2) 求解n=2的伯努利方程xp'=p-xp^2：
令z=1/p，则 z'=-1/(p^2)*p', 因此
xz‘=-1/(p^2)*(p-xp^2)=-1/p+x=-z+x
得到以z为函数的一阶非齐次微分方程：xz‘=-z+x，即
xz‘+z=x 整理可得：(xz)'=x， 两边积分得：xz=(x^2)/2+C1.
(3) 所以p满足的函数：p=x/[(x^2)/2+C1].
第二步：根据y'=p，由p满足的函数p=x/[(x^2)/2+C1]得到以y为函数的一阶微分方程y'=x/[(x^2)/2+C1]，求解一阶微分方程y'=x/[(x^2)/2+C1]可得原微分方程xy”=y'-x(y')^2的通解为：y=ln(x^2+2*C1)+C2.

追问

请问伯努利方程是什么啊？ 没学过啊
还有书上参考答案是y=ln（x^2+c1)+c2

追答

y=ln(x^2+2*C1)+C2中，由于C1表示任意常数，所以2*C1还是任意常数，即可以用一个c1=2*C1表示. 也就是说我给的那个答案y=ln(x^2+2*C1)+C2不如书上给的y=ln（x^2+c1)+c2简练.

伯努利方程是形如 y''+P(x)y'=Q(x)y^n的一阶非线性微分方程，对于这类方程的求解通常都是作变换：z=y^(1-n) 将以y为函数的一阶非线性微分方程y''+P(x)y'=Q(x)y^n转化为以z为函数的一阶线性微分方程.
伯努利方程在高等数学书中都有的，只是有些老师讲，有些老师不讲.

Answer 2

里面没有y，应该有代换的公式吧，记不清咯