Question

如图，抛物线y＝（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3)

（1）求抛物线的对称轴及k的值
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使的PA+PC的值最小，求此时点P的坐标
（3）M是抛物线上的一个动点，且在第三象限
1.当点M运动到何处时，三角形AMB的面积最大？求出三角形AMB的最大面积及此时的点M的坐标
2.当点M运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时的M点的坐标

Answer 1

1)y＝（x+1）²+k与y轴交于点C(0,-3)
-3=1+k,
k=-4
抛物线的对称轴为x=-1
2)y＝（x+1）²-4
与x轴交于A、B两点
（x+1）²-4=0
(x+1)²=4
x+1=±2
x=-3,x=1
A点坐标为(-3,0),B(1,0)
要想使得PA+PC的值最小，则P\A\C三点在一条直线上
AC直线方程为：（两点式）
(y+3)/3=x/(-3)
x+y+3=0
P在对称轴x=-1上 代入直线方程得y=-2
所以P(-1,-2)
3)
1、AB的长度固定为4
高为M点纵坐标的绝对值
S=1/2*4*IyI=2IyI
在y＝（x+1）²-4顶点处（-1，-4）
纵坐标的绝对值最大（在第三象限）
S=2iYi=2*4=8
坐标为顶点（-1，-4）

2、AMCB的面积=△ABC+△AMC
其中△ABC固定的,，AB=4
以AB为底边，高为3
S△ABC=4*3/2=6
要使的四边形AMCB的面积最大
即要求AMC面积最大
直线AC固定AC=3√2
即求抛物线上点到直线AC距离最大处
也就是求一与AC平行的直线与抛物线相切与第三象限的切点
设直线x+y+m=0，y=-x-m
代入抛物线y=(x+1)²-4
-x-m=x²+2x-3
x²+3x+(m-3)=0有一个解
△=9-4(m-3)=0
m=21/4
x²+3x+9/4=0的解为x=-3/2
y=-x-m=3/2-21/4=-15/4
M坐标为(-3/2,-15/4)
M到AC的距离为I21/4-3I/√2=(9/8)√2 【可以用平行直线的距离公式或点到直线距离公式】
S△AMC=1/2 *(9/8)√2*3√2=27/8
AMCB的面积=△ABC+△AMC=6+27/8=75/8