扇形的面积计算公式是什么？
【分析】
图中形状不可直接求出，因此我们需要采用其他可求面积的形状互相加减，才能得出结果。
考察该图形后，我们可以采用如下方式划分区域：
那么，所求面积=斜线面积+网格面积-绿色面积
其中：斜线区域与绿色区域均为扇形，网格区域为三角形，均可以采用公式求得面积。
【作图】
将两圆心分别命名为O₁、O₂，两弧线右边端点分别命名为A、B，两弧线交点为C，连接O₁C、O₂C，得到如下图：
则有：
S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₁AC……①
【注意】
到这一步，如果我们直接求两个扇形面积，则根据扇形面积公式，如下：
S=θr²/2（其中，θ为圆心角，r为半径）
但是，图中∠1和∠2只能求出三角函数值，欲求角度值必须用反三角函数，则结果中存在两个反三角函数，不够简洁。
考虑一下图形，其实我们还可以继续进行等量代换，以便消减反三角函数。
【继续作图】
过O₂做O₁C的平行线，交弧BC于D点，连接CD，得到下图：
从图中，我们容易求证或计算得出：
O₁C‖O₂D且O₁C=O₂D，∠AO₁C=∠BO₂D
即：扇形O₁AC=扇形O₂BD
则，原求阴影面积的①式可变成：
S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₁AC
=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₂BD……②
我们看看图，如上述算式②计算出来的面积是哪个面积呢？其实就是下图的阴影面积：
计算公式变成：
S阴影=S扇形O₂BC+SΔCO₁O₂-S扇形O₂BD
=SΔCO₁O₂+S扇形O₂CD……③
【计算】
设ΔCO₁O₂底边O₁O₂上的高为h，则有：
h²=O₁C²-(O₁O₂/2)²=4²-1²=15
SΔCO₁O₂=O₁O₂·h/2=2×√15/2=√15……④
∠CO₂D=2arcsin[(CD/2)/O₂C]=2arcsin[(2/2)/4]=2arcsin(1/4)
S扇形O₂CD=∠CO₂D·O₂C²/2=2arcsin(1/4)×2²÷2=4arcsin(1/4)……⑤
将④⑤代入③式，可得：
S阴影=SΔCO₁O₂+S扇形O₂CD=√15+4arcsin(1/4)……⑥
【附】
如果不进行第二部面积代换，直接按①式计算阴影面积，结果为：
S阴影=√15+2arccos(-1/4)-2arccos(1/4)……⑦
你可以自行比较一下⑥⑦两个答案，是否可以计算相等？
