Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点,DE⊥DF，分别交AC、BC于E、F。求证:(1)AE=CF

第二问在这里____(2)S△ADE+S△BDF=0.5*S△ACB

Answer 1

1)连接CD
因为等腰直角三角形，D为斜边中点
可证AD=CD=DB,CD⊥AB,∠A=∠DCB=45°.
因为∠EDF=∠ADC=90°,所以,∠ADE=∠FDC
又因为AD=DC,∠A=∠DCB
所以三角形AED全等于三角形CDF，所以AE=CF
2)D为AB中点，所以S△CDB=S△ACD=0.5*S△ACB
因为△AED全等于△CDF
所以S△ADE=S△CDF
所以S△ADE+S△BDF=S△CDF+S△BDF=S△CDB=0.5*S△ACB

Answer 2

1、连结CD，

∵△ABC是等腰RT△，AD=BD，

∴CD⊥AB，

∴〈ACD=〈BCD=45°，

〈EAD=〈DCF=45°，

〈CEF=〈EDF-〈CDE=90°-〈CDE，

〈EDA=〈CDA-〈EDC=90°-〈CDE，

∴〈CDF=〈ADE，

〈CD=AD，（RT△斜边上的中线等于斜边的一半），

∴△CFD≌△AED，

∴AE=CF。

2、由前所述，△CFD≌△AED，

S△CFD=S△AED，

同理可证△BDF≌△ CED，

S△BDF=S△ CED，

∴S△ADE+S△BDF=S△CFD+S△ CED=（1/2）S△ABC。

Answer 3

证明：连结CD，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点，得CD=DA，∠FCD=45度=∠A，∠CDE+∠ADE=90度，因为DE⊥DF，所以，∠CDF+∠CDE=90度，所以，∠CDF=∠ADE，又CD=DA，所以△CDF≌△ADE，所以AE=CF，同理可得△BDF≌△CDE，因而，△ADE的面积+△BDF的面积=四边形CEDF的面积，而，△ADE的面积+△BDF的面积+四边形CEDF的面积=△ABC的面积，所以，△ADE的面积+△BDF的面积=（1/2）△ABC的面积

Answer 4

证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点DE⊥DF，分别交AC、BC于E、F，所以四边形EDCF为正方形 所以CF=ED。又在△ADE中，∠AED=90°,，∠A=45°，所以△ADE为等腰直角三角形 所以AE=ED=CF
S△ADE+S△BDF=S△ACB-S正方形EDCF，而由以上得知S正方形EDCF=0.5*S△ACB，所以得出 S△ADE+S△BDF=S△ACB-S正方形EDCF=0.5*S△ACB