Question

试题 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.求∠BPC的度数.

急

Answer 1

过C作CD，使CD=CP=2且CD垂直CP，连DP，DA
所以DP=2√2
因为角DCA+角ACP=90°
角ACP+角BCP=90°
所以角DCA=角BCP
又CD=CP=2，AC=CB
所以三角形DCA全等三角形BCP
所以DA=PB=1
因为DA²+DP²=1+8=9=AP²
所以角ADP=90°
所以角BPC=角ADC=90°+45°=135°

Answer 2

△PBC中，COS∠PCB=(4+BC^2-1)/(4×BC)=(3+BC^2)/(4BC)
△PAC中，COS∠PCA=(4+AC^2-9)/(4×AC)=(BC^2-5)/(4BC)
又因为：∠ACB=∠PCB+∠PCA=90°，所以COS∠PCB=SIN∠PCA
即（COS∠PCB）^2+(COS∠PCA)^2=1
[(3+BC^2)/(4BC)]^2+[(BC^2-5)/(4BC)]^2=1
解得：BC^2=5+2√2 (注意5-2√2要舍去)
△PBC中，COS∠BPC=(4+1-BC^2)/(4)=(2√2)/4=√2/2
∠BPC=45°