Question

给定以下数列：1/1,1/2,2/2,1/2,1/3,2/3,3/3/,2/3,1/3,1/4,2/4,3/4,4/4,3/4,2/4······第一次出现

给定以下数列：1/1,1/2,2/2,1/2,1/3,2/3,3/3/,2/3,1/3,1/4,2/4,3/4,4/4,3/4,2/4······第一次出现8/11是第几个分数？第300个分数是几分之几？前50项的和是多少？

Answer 1

我们可以这样考虑：按分母来算，1出现1次，2出现3次，3出现5次……以此类推，n出现2n-1次。所以，11出现的次数为2*11-1=21次，第一个8/11是这21个数中的第8个数，所以，第一个8/11的算法为：1+3+5+7+9+……+（2*10-1）+8=10²+8=108.由于1+3+5+7+……+17=17²=289，又∵300-289=11＜18，所以，第300个数的分母为18，分子为11.此数为11/18.
同理可得：第50项为1/8，这是1/8第一次出现，（1/8第二次出现是第64个数）我们可以先算前49项的和：1/1+4/2+9/3+16/4+……+49/7=1+2+3+4+5+6+7=（1+7）*7/2=28，因为第五十项为1/8，所以，前五十项的和为28又1/8.

Answer 2

1/1,1/2,2/2,1/2,1/3,2/3,3/3/,2/3,1/3,1/4,2/4,3/4,4/4,3/4,2/4······第一次出现8/11是第几个分数？第300个分数是几分之几？前50项的和是多少？

观察数列可知，当n是平方数时，an=1/(n的算术平方根)，且是分母为n的算术平方根的项数的最后一项。

分母为10的最后一项1/10应该是第100项，第一次出现1/11是101项，顺序推出第一次出现8/11是108项;

17^2=289<300<18^2=324,所以第290项是1/18,300-289=11,故第300个分数是11/18;

7^2=49<50<8^2=64,所以第50项是第一次出现的1/8,由于数列中分母为n的所有分数之和为n,故前50项的和：
s=1+2+3+4+5+6+7+1/8=28+1/8=28.125。

Answer 3

设1/m时出现时在第n个分数，
则n=(m-1)^2。
那么，1/11出现在第100个分数，则8/11出现时在第108个分数；
300开方最大的整数为17，1/16出现在第289个分数，第300个分数是12/16；
50开方最大的整数为7，前50项的和为（1+2+3+4+5+6+1/7）=21+1/7

Answer 4

108 十八分之十一，二十八又八分之一

Answer 5

第108个，11/18，28.125