Question

已知函数f(x)满足：f（1）=1／4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R），则f(2010)=?

已知函数f(x)满足：f（1）=1／4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R），则f(2010)=?

解法：f（1）=1／4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R），构造符合题意的函数f（x）＝1/2cos(派/3*x) 所以f(2010)=cos(派/3*2010)=1/2

别的做法我会，就希望能大家帮助一下解释这种做法。谢谢！

Answer 1

根据cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]
2cosxcosy=cos(x+y)+cos(x-y)
令f(x)=AcosBx
4f(x)f(y)=f(x+y)(x-y)=>4AcosxAcosy=A[cos(Bx+By)+cos(Bx-By)]
4Acosxcosy=cos(Bx+By)+cos(Bx-By)
4A=2
A=1/2
即f(x)=1/2cosBx
f(1)=1/2cosBx=1/4
所以B可以是π/3
所以可令f(x)=1/2cos(πx/3)

Answer 2

构造特殊函数f(x)=(1/2)*cos(πx/3)，当x=1时，符合题意，也可解决这个问题。（这个函数不是太容易想到）
填空题可以，其他题型用其他方法好一些

Answer 3

fhfghtfh