Question

如图所示，已知梯形ABCD中，AD平行BC，点E在CD上，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC。求证

（1）三角形AEB为直角三角形
（2）DE=CE
(3)AB=AD+BC

Answer 1

(1)AD∥BC ∴∠DAB+∠ABC=180°
∠EAB+∠ABE=180°/2=90°(AE,BE是角平分线)
∴∠AEB=90°∴△AEB是RT△
(2)取AB中点M,连EM
∴EM=MA=MB(RT△斜边的中线)
∴∠MAE=∠MEA
因为∠MAE=∠DAE
∴∠DAE=∠MEA
∴ME∥AD
AD∥BC
∴ME是梯形中位线
∴DE=EC
(3)连AE并延长交BC延长线于N,连DN,
因为DE=EC AD∥BC
∴AE=EN
又BE⊥AE ∴BA=BN
又A D N C是平行四边形(对角线互相平分)
∴CN=AD ∴BN=BC+AD
则有AB=AD+BC

Answer 2

因 AD平行BC 所以∠DAB+∠ABC=180度
AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，所以∠EAB+∠ABE=90度
三角形内角和=180度
所以∠AEB=90度
所以 三角形AEB为直角三角形

Answer 3

过点E作EF平行于BC交AB于F则，由已知可得∠DAE=∠EAB=（1/2）∠DAB，∠CBE=∠EBA=（1/2）∠ABC，AD平行BC，所以∠ABC+∠DAB=180度，所以∠EBA+∠EAB=90度，由在角形内角和为180度可知，∠BEA=90度；又EF平行于BC，所以∠FEB=∠EBC，因为∠CBE=∠EBA，所以∠FEB=∠EBF，所以FE=FB，同理可得AF=FE，所以AF=FB，又AD∥FE∥BC，所以DE=CE，由梯形中位线定理可知，2EF=AD+BC，又AF=EF=FB，所以2EF=AB，所以AB=AD+CB

Answer 4

1)AD∥BC ∴∠DAB+∠ABC=180°
∠EAB+∠ABE=180°/2=90°
∴∠AEB=90°∴△AEB是RT△
(2)取AB中点M,连接EM
∴EM=MA=MB(
∴∠MAE=∠MEA
因为∠MAE=∠DAE
∴∠DAE=∠MEA
∴ME∥AD
AD∥BC
∴ME是梯形中位线
∴DE=EC
(3)连AE并延长交BC延长线于N,连DN,
因为DE=EC AD∥BC
∴AE=EN
又BE⊥AE ∴BA=BN
又因为A D N C是平行四边形(对角线互相平分)
∴CN=AD ∴BN=BC+AD
则AB=AD+BC