Question

已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把三角形ABD折起，使A移到A1点

已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把三角形ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。
求证：（1）平面A1BC垂直平面A1BD
（2）求二面角A1-BD-C的平面角的正弦值
要详细过程，谢谢！

Answer 1

证明：（1）因A1O的射影O在CD上，故A1O⊥底面ABCD，故A1O⊥BC。又因ABCD是矩形，故BC⊥CD，所以BC⊥平面CDA1，故BC⊥A1D。而A1D⊥A1B，故A1D⊥平面A1BC，故平面A1BC垂直平面A1BD。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，连接A1E，则A1E⊥BD。
二面角A1-BD-C的平面角即<A1EO。
直角三角形BA1D中，A1E=A1D*A1B/BD=6*10/√(6^2+10^2)=15√34/17
DE=√(A1D^2-A1E^2)=√[6^2-(15√34/17)^2]=9√34/17
根据相似原理有BC/CD=OE/DE得
OE=DE*BC/CD=9√34/17*6/10=27√34/85
cos<A1EO=OE/A1E=27√34/85/(15√34/17)=9/25
sin<A1EO=√[1-(9/25)^2]=4√34/25

追问

没有图你想像的出来？好厉害

追答

没有图但题目是确定的。根据题目就能画出来图啊

追问

为什么射影在CD上就垂直底面了？

追答

这是一个结论，你可查下射影的定义。一个点到一个平面的射影，那么这个点与射影连线就垂直于该平面。
定义：点在平面上的射影：由一点向平面引垂线，垂足即为这点在平面上的射影

追问

A1D⊥A1B？？

追答

对的。因为AD⊥AB嘛（矩形ABCD），翻上去变成A1D和A1B，自然还有垂直关系A1D⊥A1B

追问

谢谢，还能再帮我一道题http://zhidao.baidu.com/question/372826853.html?oldq=1吗，谢谢！

追答

当然可以。不过这一道题懂了吗？