Question

已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),g(x)=2x+b,且对于任意x∈R,恒有g(x)≤f(x).

(1)证明：c≥1,c≥｜b｜.
（2）设函数h(x)满足:f(x)+h(x)=(x+c)²,证明：函数h(x)在（0，+∞)上无零点
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Answer 1

f(x)-g(x)=x^2+(b-2)x+c-b>=0
因此delta=(b-2)^2-4(c-b)=b^2-4c+c<=0
c>=b^2/4+1>=1
c>=b^2/4+1>=2根号(b^2/4)=｜b｜

h(x)=(x+c)^2-f(x)=(2c-b)x+c^2-c=0
即h(x)在R上的唯一零点为x0=(c-c^2)/(2c-b)
因为c>=1,所以(c-c^2)<=0
又因为c>=｜b｜,所以2c-b>0
所以0x=(c-c^2)/(2c-b)<=0，即零点不在（0，+∞)上

Answer 2

(1) ∵g(x)≤f(x) f(x)-g(x)≥0
∴ x²+(b-2)x+c-b≥0 ① 恒成立
即 △≤0
△ =（b-2)²-4*(c-b)≤0
b²-4c+4≤0 b²≤4c-4
∵b²≥0 ∴4c-4≥0 ∴ c≥1
当 x=0 时 ①式为 c-b≥0 即c≥b
当 x=2 时 ①式为 c+b≥0 即c≥-b
∴c≥｜b｜
(2) f(x)+h(x)=(x+c)²
h(x)= (x+c)²-(x²+bx+c)=(2c-b)x+c²-c
∵c≥｜b｜ 且 c≥1 ∴c≥b 2c-b＞0
h(x) 在（0，+∞)为增函数
在0处 h(0）=c²-c =c(c-1)
∵ c≥1 ∴c(c-1)≥0
h(x) ＞h(0)
∴函数h(x)在（0，+∞)上无零点