Question

在三角形ABC中，abc分别为内角ABC的对边，π/3<C<π/2，且b/(a-b)=sin2C/sinA-sin2C, 1.判断三角形的形状

2.若｜BA+BC｜=2,求BA·BC的取值范围

Answer 1

b/(a-b)=sin2C/sinA-sin2C中sinA-sin2C有没有括号？

追问

有的有的 不小心忘了

追答

(a-b)/b=(sinA-sin2C)/sin2C
a/b-1=sinA/sin2C-1
a/b=sinA/sin2C
sinA/sinB=sinA/sin2C
sinB=sin2C(π/3<C<π/2)
B+2C=π,又A+B+C=π
A=C,所以三角形是等腰三角形

Answer 2

用正弦定理 ： b/(a-b)=sinB/(sinA-sinB)=sin2C/(sinA-sin2C)
得到： sinB(sinA-sin2C)=sin2C(sinA-sinB)
化简得到 sinA(sinB-sin2C)=0
所以 sinB=sin2C
π/3＜C＜π/2 => 2π/3＜2C＜π
如果 B=2C 得到 B+C>π 不符合
所以 B=π-2C=π-A-C
所以 A=C， △ABC为等腰三角形 |AB|=|BC| 且 0<B<π/3

假设|AB|=|BC|=a
由余弦定理
4=│向量BA+向量BC│^2=a^2+a^2+2a^2 cosB=2a^2(1+cosB)
得到 a^2cosB=2-a^2
又a^2=2/(1+cosB)
cosB在(0,π/3)上时减函数且大于0
所以 1<a^2<4/3

向量BA*向量BC=|BA|*|BA|cosB=a^2 cosB=2-a^2
所以取值范围是 2/3<a^2<1