Question

如图，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°，边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E，

(1)求证：AD=DE（2）若点D在CB的延长线上，（1）的结论是否依然成立？请画出图形，若成立请给予证明，若不成立，请说明理由

Answer 1

设AC交DE于F，作辅助线AB边取BH=BD
（主要思想是证三角形AHD全等于三角形DCE，用角角边）
因为AB=BC，BH=BD，所以AH=DC（一对边）

因为BH=BD，角B60度，所以三角形BHD等边，所以角BHD为60度则角AHD为120度
因为角C外角120度，CE平分它，所以角C+角ACE=角DCE=120度，即角AHD=角DCE(一组角)

因为角ADE=角ACE=60度，角AFD=角ECD,所以角DAC=角CED，因为HD||CA，所以角DAF=角ADH，所以角CED=角ADH（一组角）

所以三角形AHD全等于三角形DCE，所以AD=DE，
第2问过程一样

Answer 2

(1)证明：在AB上截取BP=BD，连接AE
因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60
BD=BP，所以△BDP为等边三角形。
∠BPD=60，∠APD=120
∠ACB=60，所以外角为120
CE为角平分线，∠ACE=60
∠DCE=∠ACB+∠ACE=120=∠APD
因为∠B=60，所以∠PAD+∠ADB=120
因为∠ADE=60，所以∠CDE+∠ADB=120
∠PAD=∠CDE
CD=BC-BD，AP=AB-BP
所以AP=CD
△APD≌△DCE。AD=AE
因为∠ADE=60，所以△ADE为等边三角形
（2）仍然成立。
证明：延长AB到点M，使BM=BD，连接AE、DM
△ABC等边三角形，AB=BC
所以AB+BM=BC+BD，即AM=CD
∠DBM=∠ABC=60，BD=BM
所以△DBM为等边三角形，∠M=60
∠ACB=60，所以外角为120度
CE所在直线平分外角，所以∠BCE=60=∠M
∠ABC为△ADB外角，所以∠ADB+∠DAB=60
∠ADB+∠CDE=∠ADE=60
所以∠DAB=∠CDE
因此△ADM≌△CDE。AD=DE

Answer 3

延长EC到N　CN＝CD，连接DN，三角形DCN是等边三角形。证明三角形ADC和EDN全等。

Answer 4

呃，我也在找这题，唉~

Answer 5

真是谢谢你啊

Answer 6

；