Question

数学题数学高手来！几何的。已知△ABC是边长为5的等边三角形

已知△ABC是边长为5的等边三角形。
如图①，若P是边BC上一点，过点C、P分别作AB、AC的平行线，两线交于点Q，连接BQ、AP的延长线交BQ于D，试问：线段AD、BD、CD是否之间一定满足某种等量关系？
请写出它们之间的等量关系并证明你的结论。

Answer 1

AD = BD + CD
延长DC至E，使得CE=BD，连接AE
简单过程：
先证明三角形APC与三角形BQC全等（两边相等，夹角60度）
角CAP等于角CBQ
角APB等于角CAP+60度，也等于角DPQ+60度
则角DPQ等于角CAP等于角CBQ
则三角形PBQ与DPQ相似
PQ^2 = BQ*DQ = CQ^2
如此三角形CBQ与DCQ相似
角DCQ等于CBQ
那角ACE等于ABD
如此三角形ACE与ABD全等，AD=DE=DC+CE=DC+BD

Answer 2

AD=BD+CD
首先容易得△PCQ也是等边三角形
然后证明 △PAC≌△QBC
得 ∠PAC=∠QBC，加上∠BPD=∠APC ，得 ∠BDA=∠ACB=60°
然后 在AD上取一点E，使DE=BD，那么△BDE也是等边三角形
因为 ∠ABC=∠EBD=60° 那么∠ABE=∠CBD
加上其夹角的两边都对应相等，所以 △ABE≌△CBD
从而 AE=CD
而 AD=AE+DE AE=CD DE=BD
所以 AD=BD+CD