Question

已知函数f(x)=x的平方+2/x+alnx,a属于R（1）若a=4,求函数f(x)的单调区间

2，若函数f(x)在【1，正无穷】上单调递增，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=x^2+2/x+alnx,a
1 a=4
f'(x)=2x-2/x^2+4/x=2(x^3+2x-1)/x^2 (x>0)
由 f'(x)>0即 x^3+2x-1>0 且 x>0 得 x>x0
由 f'(x)<0即 x^3+2x-1<0 且 x>0 得 0<x<x0
函数f(x)的单调递增区间为（x0，+∞）
单调递减区间为（0，x0）
其中 x0=[(9+√177)/18]^(1/3)+[(9-√177)/18]^(1/3)=9/20
2
f'(x)=2x-2/x^2+a/x=(2x^2+ax-2)/x^2
函数f(x)在【1，正无穷】上单调递增
即x≥1时，2x^2+ax-2≥0恒成立
即a≥ 2/x-2x恒成立,
设g(x)=2/x-2x,g'(x)=-2/x^2-2＜0总成立
∴g(x)是减函数，g(x)max=g(1)=0
∴实数a的取值范围是a≥0