Question

已知分段函数f(x)=(1+x)/(1+x²)0≤x≤2,f(x)=f(2) x>2

已知分段函数f(x)=(1+x)/(1+x²)0≤x≤2,f(x)=f(2) x>2
（1）求函数f(x)在定义域上的单调区间
（2）若关于x的方程f(x)-a=0恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围
（3）已知实数x1,x2∈（0，1]，且x1+x2=1.求f(x1)*f(x2)的最大值
要详细过程，谢谢
回答得很好有加分哦

Answer 1

解：不知道你是几年级的。如果学过导数，直接求导最简单，如果没学过导数，可以这样做：
（1）因x+1≥1≠0，故
f(x)=(1+x)/(1+x²)=(1+x)/[(x+1)^2-2(x+1)+2]=1/[(x+1)+2/(x+1)-2]=1/{[√(x+1)-√2/√(x+1)]^2+2√2-2}
若0≤x<√2-1，则√(x+1)<√2/√(x+1)，f(x)=1/{[√2/√(x+1)-√(x+1)]^2+2√2-2}，随着x的增大，f(x)严格单调增大；
若√2-1≤x≤2，则√(x+1)>√2/√(x+1)，f(x)=1/{[√(x+1)-√2/√(x+1)]^2+2√2-2}，随着x的增大，f(x)严格单调减小。
（2）根据（1）的结论，有：
当0≤x<√2-1时，f(0)=1≤f(x)<f(√2-1)=(1+√2-1)/[1+(√2-1)²]=(√2+1)/2，且f(x)严格单调增大；
当√2-1≤x≤2时，f(2)=3/5≤f(x)≤f(√2-1)=(√2+1)/2，且f(x)严格单调减小。
当x>2时，f(x)=f(2)=3/5
据此大致画出图像，则要使关于x的方程f(x)-a=0恰有两个不同的实数解，必须3/5<a<(√2+1)/2。
（3）f(x1)*f(x2)=(1+x1)/(1+x1²)*(1+x2)/(1+x2²)=(1+x1+x2+x1x2)/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
=(2+x1x2)/[1+x1^2+x2^2+x1^2*x2^2]=(2+x1x2)/[1+(x1+x2)^2-2x1x2+(x1x2)^2]
=(2+x1x2)/[2-2x1x2+(x1x2)^2]=(x1x2+2)/[(x1x2+2)^2-6(x1x2+2)+10]=1/[(x1x2+2)+10/(x1x2+2)-6]
=1/{[√(x1x2+2)-√10/√(x1x2+2)]^2+2√10-6}
由于0<x1x2≤[(x1+x2)/2]^2=1/4，故2<t=x1x2+2≤9/4，于是
f(x1)*f(x2)=g(t)=1/[(√t-√10/√t)^2+2√10-6]=1/[(√10/√t-√t)^2+2√10-6]
由于√10/√t-√t=(√10-t)/√t>0，且随着t的增大而减小，而(√10/√t-√t)^2+2√10-6>0，于是，随着t的增大，f(x1)*f(x2)=g(t)=1/[(√10/√t-√t)^2+2√10-6]严格单调递增。故
f(x1)*f(x2)≤g(9/4)=1/[(√10/√(9/4)-√(9/4))^2+2√10-6]=36/25
此时，t=x1x2=1/4，结合x1+x2=1可解得x1=x2=1/2。

追问

我是高一的，为什么要若0≤x<√2-1（√2-1哪儿来的），而不是直接说当0≤x≤2时，f(x)单调递减？我怎么算出来是递减的？

追答

f(x)=1/{[√(x+1)-√2/√(x+1)]^2+2√2-2}
在分析f(x)单调性时，需考察√(x+1)-√2/√(x+1)的符号是正还是负。而√(x+1)-√2/√(x+1)=(x+1-√2)/√(x+1)=[x-(√2-1)]/√(x+1)，故需分x0，2√2-2>0，f(x)=1/{[√2/√(x+1)-√(x+1)]^2+2√2-2}，随着x的增大，2/√(x+1)-√(x+1)>0且严格单调减小，[√2/√(x+1)-√(x+1)]^2+2√2-2>0且严格单调减小，故f(x)严格单调增大。