Question

已知二次函数y=-1/4x²+3/2x的图像如图（1）求D坐标（2）将抛物线沿对称轴向上平移，

已知二次函数y=-1/4x²+3/2x的图像如图（1）求D坐标（2）将抛物线沿对称轴向上平移，交坐标轴于A B C三点，∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系

Answer 1

解：
（1）、y=-1/4x²+3/2x化为y=-1/4(x-3)²+9/4，所以D点的坐标为（3，0）。
（2）、设抛物线的顶点式y=-1/4（x-3）^2+k。因为∠ACB=90°，所以可以用ACxBC=ABxOC,也可以用DC=AB的一半。因为C点为抛物线与y轴交点，则令x=0可得C点纵坐标k-9/4，即OC=k-9/4，OD=3，设A（x1,0），B（x2,0），则AB=x2-x1，所以3^2+(k-9/4)^2=(x2-x1)^2/4,解得k=25/4(k=9/4不合题意，舍去），抛物线的解析式y=-1/4（x-3）^2+25/4，点A、B、C、M的坐标分别为（-2，0）、（8，0）、（0，4）（3，25/4）。
（3）、用勾股定理求到CM=15/4，CD=5，CM^2+CD^2=625/16，MD^2=625/16，所以CM^2+CD^2=MD^2，因此直线CM与⊙D相切。

Answer 2

解：
（1）y=-1/4x²+3/2x化为y=-1/4(x-3)²+9/4，所以D点的坐标为（3，0）。
（2）解：设抛物线的顶点式y=-1/4（x-3）^2+k。因为∠ACB=90°，所以可以用ACxBC=ABxOC,也可以用DC=AB的一半。因为C点为抛物线与y轴交点，则令x=0可得C点纵坐标k-9/4，即OC=k-9/4，OD=3，设A（x1,0），B（x2,0），则AB=x2-x1，所以3^2+(k-9/4)^2=(x2-x1)^2/4,解得k=25/4(k=9/4不合题意，舍去），抛物线的解析式y=-1/4（x-3）^2+25/4，点A、B、C、M的坐标分别为（-2，0）、（8，0）、（0，4）（3，25/4）。或用勾股定理证,抛物线的解析式y=-1/4（x-3）^2+25/4，
（3）用勾股定理求到CM=15/4，CD=5，CM^2+CD^2=625/16，MD^2=625/16，所以CM^2+CD^2=MD^2，因此直线CM与⊙D相切。