Question

设a、b、c是互不相等的实数，求证： a^4/[(a-b)(a-c)] + b^4/[(b-c)(b-a)] + c^4/[(c-a)(c-b)] >0

Answer 1

根据柯西不等式
｛a^4/[(a-b)(a-c)] + b^4/[(b-c)(b-a)] + c^4/[(c-a)(c-b)]｝[(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)]
>=(a^2+b^2+c^2)^2
其中[(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)] =0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2
所以最上面式子化为a^4/[(a-b)(a-c)] + b^4/[(b-c)(b-a)] + c^4/[(c-a)(c-b)]
>={(a^2+b^2+c^2)^2} /{0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2}>=0
因为a、b、c是互不相等的实数,"="不能取到.所以是大于.

追问

请教三个问题：
第一：为什么｛a^4/[(a-b)(a-c)] + b^4/[(b-c)(b-a)] + c^4/[(c-a)(c-b)]｝要乘以[(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)] ，又为什么乘以该式大于等于(a^2+b^2+c^2)^2

第二：为什么[(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)] =0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2 ？可能吗？我没算出来。

追答

第一问：由柯西不等式(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)>=(a1b1+a2b2+a3b3)^2化得
第二问：(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2-ab-ac+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-ac-bc+ab
=0.5(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)=0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]

追问

看了你的回答，我做的结果，怎么是：
第一；化得应)>=((a^4+b^4+c^4)^2
而不是(a^2+b^2+c^2)^2
第二：(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=……0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
而不是0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]^2
你说对吧？

追答

对的，细节上计算有点问题，但是这个思路，看样子你应该已经证出来了