Question

如何推导相对论中的相对速度公式

Answer 1

S’系相对S系沿x轴正向以速度v运动,一物体相对S(S')系以速度V(V')运动,则V与V'之间的速度变换关系与v和c有关,如下分析：
首先,根据洛伦兹坐标变换,有
x’=(x-vt)/√(1-v^2/c^2),y’=y,z’=z,t’=(t-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2);
x=(x’+vt’)/√(1-v^2/c^2),y=y’,z=z’,t=(t’+vx’/c^2)/√(1-v^2/c^2);
接着,对洛伦兹坐标变换式进行高等数学中的求导即可得到速度变换关系,如下
V’(x’)=dx’/dt’=[(dx-vdt)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],
V’(y’)=dy’/dt’=dy/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],
V’(z’)=dz’/dt’=dz/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2];
V(x)=dx/dt=[(dx’+vdt’)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V’(x’)+v]/[1+vV’(x’)/c^2],
V(y)=dy/dt=dy’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2],
V(z)=dz/dt=dz’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2].
不用高等数学求导的初等数学推导如下：
V'(x')=(x2'-x1')/(t2'-t1')
=[(x2-x1-vt2+vt1)/√(1-v^2/c^2)]/[(t2-t1-vx2/c^2+vx1/c^2)/√(1-v^2/c^2)]
=[(x2-x1)/(t2-t1)-v]/[1-v(x2-x1)/(t2-t1)c^2]
=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],
V'(y')=(y2'-y1')/(t2'-t1')
=(y2-y1)/[(t2-t1-vx2/c^2+vx1/c^2)/√(1-v^2/c^2)]
=(y2-y1)/(t2-t1)*√(1-v^2/c^2)/[1-v(x2-x1)/(t2-t1)c^2]
=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],

Answer 2

四、洛伦兹坐标变换
洛伦兹公式是洛伦兹为弥补经典理论中所暴露的缺陷而建立起来的。洛伦兹是一位理论物理学家，是经典电子论的创始人。
坐标系k1（o1，x1，y1，z1）以速度v相对于坐标系k（o，x，y，z）作匀速直线运动；三对坐标分别平行，v沿x轴正方向，并设x轴与x1轴重合，且当t1=t=0时原点o1与o重合。设p为被“观察”的某一事件，在k系中观察者“看”来。它是在t时刻发生在（x，y，z）处的，而在k1系中的观察者看来，它是在t1时刻发生在（x1，y1，z1）处的。这样的两个坐标系间的变换，我们叫洛伦兹坐标变换。
在推导洛伦兹变换之前，作为一条公设，我们必须假设时间和空间都是均匀的，因此它们之间的变换关系必须是线性关系。如果方程式不是线性的，那么，对两个特定事件的空间间隔与时间间隔的测量结果就会与该间隔在坐标系中的位置与时间发生关系，从而破坏了时空的均匀性。例如，设x1与x的平方有关，即x1=ax^2，于是两个k1系中的距离和它们在k系中的坐标之间的关系将由x1a-x1b=a(xa^2-xb^2）表示。现在我们设k系中有一单位长度的棒，其端点落在xa=2m和xb=1m处，则x1a-x1b=3am。这同一根棒，其端点在xa=5m和xb=4m处，则我们得到x1a-x1b=9am。这样，对同一根棒的测量结果将随棒在空间的位置的不同而不同。为了不使我们的时空坐标系原点的选择与其他点相比较有某种物理上的特殊性，变换式必须是线性的。
先写出伽利略变换：x=x1+vt1；
x1=x-vt
增加系数k，x=k(x1+vt1)；
x1=k1(x-vt)
根据狭义相对论的相对性原理，k和k1是等价的，上面两个等式的形式就应该相同（除正负号外），所以两式中的比例常数k和k1应该相等，即有k=k1。
这样，
x1=k（x-vt）
为了获得确定的变换法则，必须求出常数k，根据光速不变原理，假设光信号在o与o1重合时（t=t1=0）就由重合点沿ox轴前进，那么任一瞬时t（由坐标系k1量度则是t1),光信号到达点的坐标对两个坐标系来说，分别是
x=ct；
x1=ct1
xx1=k^2
(x-vt)(x1+vt1)
c^2
tt1=k^2
tt1(c-v)(c+v)
由此得
k=
1/
(1-v^2/c^2)^(1/2)
于是
t1=(t-vx/c^2)
/
(1-v^2/c^2)^(1/2)
t=
(t1+vx/c^2)/
(1-v^2/c^2)^(1/2)