Question

求函数f（x）=x/（x^2+1)的单调区间，判断在各单调区间上函数的单调性，并证明你的判断.

Answer 1

令x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
通分，分母(x1^2+1)(x2^2+1)>0

分子=x1x2^2+x1-x1^2x2-x2
=x1x2(x2-x1)-(x2-x1)
=(x2-x1)(x1x2-1)
x1>x2,x2-x1<0
所以看x1x2-1的符号
若-1<x<1,则x1x2<1,x1x2-1<0,分子大于0，是增函数
若x<-1或x>1,则x1x2>1,x1x2-1>0，分子小于0，是减函数

所以
增区间(-1,1)
减区间(-∞,-1)和(1,+∞)

Answer 2

令g(x)=(x^2+1)/x=x+1/x
g'(x)=1-1/x^2
令g'(x)>0
可得：x<-1或x>1
故g(x)在（－∞，-1）上增，在（-1，0）上减，（0，1）上减，（1，＋∞）上增
由于g(x)是f(x)的倒数
所以f(x)在（－∞，-1]上减，[-1，1]上增，[1，＋∞）上减